Question

設(shè)D是函數(shù)y=f（x）定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間，若存在x₀∈D，使f（x₀）=-x₀，則稱x₀是f（X）的一個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)”，也稱f（x）在區(qū)間D上存在次不動(dòng)點(diǎn)．若函數(shù)f（x）=ax²-3x-a+

5

2

在區(qū)間[1，4]上存在次不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（-∞，

1

2

]

．

Answer 1

分析：根據(jù)“f（x）在區(qū)間D上有次不動(dòng)點(diǎn)”當(dāng)且僅當(dāng)“F（x）=f（x）+x在區(qū)間D上有零點(diǎn)”，依題意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax²-2x-a+

5

2

=0，討論將a分離出來(lái)，利用導(dǎo)數(shù)研究出等式另一側(cè)函數(shù)的取值范圍即可求出a的范圍．

解答：解：依題意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax²-2x-a+

5

2

=0，
當(dāng)x=1時(shí)，使F（1）=

1

2

≠0（6分）；
當(dāng)x≠1時(shí)，解得a=

4x-5

2(x2-1)

（8分），
由a′=

-2x2+5x-2

(x2-1)2

=0（9分），
得x=2或x=

1

2

（

1

2

＜1，舍去）（10分），

x	（1，2）	2	（2，4）
a′	+	0	-
a	↗	最大值	↘

（12分），當(dāng)x=2時(shí)，a最大=

4x-5

2(x2-1)

=

1

2

（13分），
所以常數(shù)a的取值范圍是（-∞，

1

2

]（14分）．
故答案為：（-∞，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及函數(shù)零點(diǎn)和利用導(dǎo)數(shù)研究最值等有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．