Question

（2013•天津）已知下列三個(gè)命題：
①若一個(gè)球的半徑縮小到原來(lái)的

1

2

，則其體積縮小到原來(lái)的

1

8

；
②若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等；
③直線(xiàn)x+y+1=0與圓x2+y2=

1

2

相切．
其中真命題的序號(hào)是（　�。�

A．①②③

B．①②

C．①③

D．②③

Answer 1

分析：對(duì)于①由球的體積公式V=

4

3

πR3可知①正確；對(duì)于②通過(guò)舉反例，如2，2，2和1，2，3；這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，它們的標(biāo)準(zhǔn)差不相等，故②錯(cuò)；對(duì)于③利用圓x2+y2=

1

2

的圓心到直線(xiàn)x+y+1=0的距離與圓的半徑之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

解答：解：①由球的體積公式V=

4

3

πR3可知，若一個(gè)球的半徑縮小到原來(lái)的

1

2

，則其體積縮小到原來(lái)的

1

8

；故①正確；
②若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，它們的標(biāo)準(zhǔn)差不相等，故②錯(cuò)；
③圓x2+y2=

1

2

的圓心到直線(xiàn)x+y+1=0的距離d=

1

2

=

2

2

=半徑r，故直線(xiàn)x+y+1=0與圓x2+y2=

1

2

相切，③正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，主要考查了球的體積公式、平均數(shù)和方差、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系等，屬于基礎(chǔ)題．