Question

已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=m|x-1|（m∈R）．
（1）若關(guān)于x的方程|f（x）|=g（x）只有一個實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若當x∈R時，關(guān)于x的不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）求函數(shù)h（x）=|f（x）|+g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值（直接寫出結(jié)果，不需給出演算步驟）．

Answer 1

解：：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x²-1|=m|x-1|，變形得|x-1|（|x+1|-m）=0，
顯然，x=1已是該方程的根，從而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=m有且僅有一個等于1的解或無解，∴m＜0．
（2）當x∈R時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x²-1）≥m|x-1|（*）對x∈R恒成立，
①當x=1時，（*）顯然成立，此時m∈R；
②當x≠1時，（*）可變形為m≤，令φ（x）==，
因為當x＞1時，φ（x）＞2，當x＜1時，φ（x）＞-2，所以φ（x）＞-2，故此時m≤-2．
綜合①②，得所求實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-2]．
（3）（Ⅲ）因為h（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+m|x-1|=，由此可得
當m≥0時，h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3；
當-3≤m＜0時，h（x）在[-2，2]上的最大值為a+3；
當m＜-3時，h（x）在[-2，2]上的最大值為0．
分析：（1）將方程變形，利用x=1已是該方程的根，從而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=m有且僅有一個等于1的解或無解，從而可求實數(shù)m的取值范圍；
（2）將不等式分離參數(shù)，確定函數(shù)的值域，即可求得實數(shù)m的取值范圍．
（3）去絕對值，分段求函數(shù)的最值．
點評：本題考查構(gòu)成根的問題，考查分離參數(shù)法的運用，考查恒成立問題，正確變形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．