Question

在△ABC中，已知cos2(

π

2

+A)+cosA=

5

4

且b+c=

3

a，求cos

B-C

2

的值．

Answer 1

分析：把已知條件利用誘導(dǎo)公式及同角平方關(guān)系化簡(jiǎn)可求得cosA=

1

2

，結(jié)合0°＜A＜180°，從而可得A=60°，B+C=120°，
由b+c=

3

a，結(jié)合正弦定理轉(zhuǎn)化為sinB+sinC=

3

2

?（sin(120°-B)+sinC=

3

2

，整理可得cos(60°-C)=

3

2

，而

B-C

2

=

120°-C-C

2

=60°-C，從而可求

解答：解：由cos2(

π

2

+A)+cosA=

5

4

得(cosA-

1

2

)2=0（2分）
則cosA=

1

2

，∴A=60°，B+C=120°（4分）．
又由b+c=

3

a得sinB+sinC=

3

2

（6分），
sinB+sinC=sin（120°-C）+sinC=

3

2

cosC+

3

2

sinC=

3

cos（60°-C）（8分）
∴

3

cos(60°-C)=

3

2

，則cos(60°-C)=

3

2

，（10分）
于是B+C=120°，

B-C

2

=60°-C，即cos

B-C

2

=

3

2

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同角平方關(guān)系、誘導(dǎo)公式、正弦定理、和差角公式的綜合運(yùn)用，但都是基本知識(shí)的運(yùn)用，要求考生熟練掌握公式，并能熟練把這些公式綜合在一起，同時(shí)還要具備基本的運(yùn)算推理能力．