Question

設二次函數(shù)f（x）=ax²-2x-2a（a為實常數(shù)）
（1）若a＞0，且f（x）在x∈[0，2]的最小值為-3，求a的值；
（2）若f（x）＞0的解集為A，B={x|1＜x＜3}，若A∩B=?，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）=a--2a，
1°0≤≤2即a≥2時，f（x）_min=f（）=-2a-=-3，
從而2a+-3=0，
∴2a²-3a+1=0，
∴a=或a=1（舍），
∴a=．
2°若＞2即0＜a＜時f（x）_min=f（2）=4a-4-2a=-3，
∴2a=1，a=（舍），
∴a=…6分
（2）據(jù)題意有f（x）≤0在x∈（1，3）上恒成立?ax²-2x-2a≤0，x∈（1，3）恒成立，
1°a＞0時???-2≤a≤．
2°a＜0時，f（x）=a--2a在x∈（1，3）上單調遞減，
∴f（x）＜f（1）≤0，
∴-2≤a＜0．
綜上a∈[-2，0）∪（0，]…12分
分析：（1）將二次函數(shù)f（x）=ax²-2x-2a配方轉化為f（x）=a--2a，對其對稱軸x=與區(qū)間[0，2]的位置關系分類討論即可；
（2）將“f（x）＞0的解集為A，B={x|1＜x＜3}，若A∩B=?，”轉化為f（x）≤0在x∈（1，3）上恒成立來解決，再對a分a＞0與a＜0分類討論即可．
點評：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，著重考查分類討論思想與轉化思想的運用，特別是將（2）轉化為f（x）≤0在x∈（1，3）上恒成立來解決是難點，屬于難題．