Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁的中點，
F是AB的中點，AC=BC=1，AA₁=2．
（Ⅰ）求證：CF∥平面AB₁E；
（Ⅱ）求三棱錐C-AB₁E在底面AB₁E上的高．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱的結(jié)構(gòu)特征,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AB₁的中點G，連接EG，F(xiàn)G，由已知得四邊形FGEC是平行四邊形，由此能證明CF∥平面AB₁E．
（Ⅱ）由已知得BB₁⊥平面ABC，AC⊥BB₁，AC⊥BC，從而AC⊥平面EB₁C，進而AC⊥B₁C，由此利用VC-AB1E=VA-EB1C，能求出三棱錐C-AB₁E在底面AB₁E上的高．

解答： （Ⅰ）證明：取AB₁的中點G，連接EG，F(xiàn)G，
因為F，G分別是AB，AB₁的中點，
所以FG∥BB1，F(xiàn)G=

1

2

BB1，
因為E為側(cè)棱CC₁的中點，所以FG∥EC，F(xiàn)G=EC，…（3分）
所以四邊形FGEC是平行四邊形，則CF∥EG，
因為CF?平面AB₁E，EG?平面AB₁E，
所以CF∥平面AB₁E．…（6分）
（Ⅱ）解：因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，
所以BB₁⊥平面ABC，
又AC?平面ABC，所以AC⊥BB₁，
又∠ACB=90°，所以AC⊥BC，
因為BB₁∩BC=B，
所以AC⊥平面EB₁C，所以AC⊥B₁C，
得VA-EB1C=

1

3

S△EB1C•AC=

1

3

×(

1

2

×1×1)×1=

1

6

，…（10分）
因為AE=EB1=

2

，AB1=

6

，
所以S△AB1E=

3

2

，
因為VC-AB1E=VA-EB1C，
所以三棱錐C-AB₁E在底面AB₁E上的高為

3VC-AB1E

S△AB1E

=

3

3

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的高的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．