Question

已知a₁、x、y、a₂成等差數(shù)列，b₁、x、y、b₂成等比數(shù)列，則

(a1+a2)2

b1b2

-2的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：首先根據(jù)等比中項(xiàng)和等差中項(xiàng)得出a₁+a₂=x+y和b₁b₂=xy，再由均值不等式即可得出結(jié)果．

解答： 解：∵a₁、x、y、a₂成等差數(shù)列，∴a₁+a₂=x+y，
∵b₁、x、y、b₂成等比數(shù)列，∴b₁b₂=xy，
則

(a1+a2)2

b1b2

-2=

(x+y)2

xy

-2=

x2+y2

xy

．
若xy＞0，則

x2+y2

xy

≥2；
若xy＜0，則

x2+y2

xy

≤-2．
故

(a1+a2)2

b1b2

-2的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故答案為（-∞，-2]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的性質(zhì)，以及均值不等式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．