Question

已知在△ABC中，∠C是直角，兩直角邊和斜邊a、b、c滿足條件a+b=cx，試確定x的范圍．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：解三角形

分析：由a+b=cx得x=

a+b

c

，利用正弦定理將式子化為：

sinA+sinB

sinC

，將C=90°及B=90°-A代入后，利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域和角A的范圍，即可確定出它的范圍．

解答： 解：由a+b=cx得，x=

a+b

c

，
由題意得在△ABC中，∠C=90°，則∠A+∠B=90°，
由正弦定理得：

a+b

c

=

sinA+sinB

sinC

=

sinA+sin(90°-A)

sin90°

=sinA+cosA=

2

sin(A+45°)，
由A∈（0，90°）得，A+45°∈（45°，135°），
所以sin（A+45°）∈（

2

2

，1]，
即

2

sin(A+45°)∈（1，

2

]，所以

a+b

c

∈（1，

2

]，
所以x=

a+b

c

∈（1，

2

]，

點評：本題考查了正弦定理的應(yīng)用，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的值域，熟練掌握正弦定理和三角恒等變換的公式是解本題的關(guān)鍵，注意角的范圍．