在直角坐標系xOy中,以坐標原點O為圓心的圓與直線:x-
3
y=4
相切.
(1)求圓O的方程;
(2)若圓O上有兩點M、N關于直線x+2y=0對稱,且|MN|=2
3
,求直線MN的方程.
分析:(Ⅰ)設圓O的半徑為r,由圓心為原點(0,0),根據(jù)已知直線與圓O相切,得到圓心到直線的距離d=r,利用點到直線的距離公式求出圓心O到已知直線的距離d,即為圓的半徑r,由圓心和半徑寫出圓O的標準方程即可;
(Ⅱ)設出直線方程,利用點到直線的距離以及垂徑定理求出直線方程中的參數(shù),即可得到直線方程.
解答:(本題滿分14分)
(1)依題設,圓O的半徑r等于原點O到直線x-
3
y=4
的距離,
r=
4
1+3
=2
.…(3分)
得圓O的方程為x2+y2=4.                     …(6分)
(2)由題意,可設直線MN的方程為2x-y+m=0.…(8分)
則圓心O到直線MN的距離d=
|m|
5
.                …(10分)
由垂徑分弦定理得:
m2
5
+(
3
)2=22
,即m=±
5
.…(12分)
所以直線MN的方程為:2x-y+
5
=0
2x-y-
5
=0
.…(14分)
點評:此題考查了直線與圓相交的性質,直線與圓的位置關系,以及圓的標準方程,涉及的知識有:點到直線的距離公式,兩點距離公式,考查計算能力.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在直角坐標系xOy中,橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2.F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點,點M為C1與C2在第一象限的交點,且|MF2|=
5
3

(Ⅰ)求C1的方程;
(Ⅱ)平面上的點N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
,直線l∥MN,且與C1交于A,B兩點,若
OA
OB
=0
,求直線l的方程.

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在直角坐標系xOy中,已知點P(2cosx+1,2cos2x+2)和點Q(cosx,-1),其中x∈[0,π].若向量
OP
OQ
垂直,求x的值.

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精英家教網如圖所示,在直角坐標系xOy中,射線OA在第一象限,且與x軸的正半軸成定角60°,動點P在射線OA上運動,動點Q在y軸的正半軸上運動,△POQ的面積為2
3

(1)求線段PQ中點M的軌跡C的方程;
(2)R1,R2是曲線C上的動點,R1,R2到y(tǒng)軸的距離之和為1,設u為R1,R2到x軸的距離之積.問:是否存在最大的常數(shù)m,使u≥m恒成立?若存在,求出這個m的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在直角坐標系xOy中,已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0(α為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t
為參數(shù))
(I)求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程,并說明它表示什么曲線;
(II)求直線l被軌跡C截得的最大弦長.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在直角坐標系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
2
2
,左右兩個焦分別為F1,F(xiàn)2.過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點,且|MN|=2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設橢圓C的一個頂點為B(0,-b),是否存在直線l:y=x+m,使點B關于直線l 的對稱點落在橢圓C上,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

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