Question

記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，所有奇數(shù)項之和為S′，所有偶數(shù)項之和為S″．
（1）若{a_n}是等差數(shù)列，項數(shù)n為偶數(shù)，首項a₁=1，公差，且S″-S′=15，求S_n；
（2）若{a_n}是等差數(shù)列，首項a₁＞0，公差d∈N^*，且S′=36，S″=27，請寫出所有滿足條件的數(shù)列；
（3）若數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，滿足2tS_n+1-3（t-1）S_n=2t（n∈N^*），其中實常數(shù)，且，請寫出滿足上述條件常數(shù)t的兩個不同的值和它們所對應的數(shù)列．

Answer 1

解：（1）若數(shù)列{a_n}項數(shù)n為偶數(shù)，由已知，得S″-，（2分）
解得n=20，（1分）
．（1分）
（2）假設(shè)數(shù)列{a_n}項數(shù)n為偶數(shù)，S″-與S″-S′=-9矛盾．故數(shù)列{a_n}項數(shù)n不為偶數(shù)，（1分）
設(shè)數(shù)列{a_n}項數(shù)n=2k+1（k∈N），
則
∵a₁+a_2k+1=a₂+a_2k，
∴，
解得k=3，項數(shù)n=2×3+1=7，（2分）
∵，
∴a₁+3d=9，
∵a₁=9-3d＞0，
∴d＜3．又d∈N^*，所以，d=1或d=2．
當d=1時，a₁=6，此時，a_n=6+（n-1）•1=n+5，
所以，該數(shù)列為：6，7，8，9，10，11，12．（2分）
當d=2時，a₁=3，此時，a_n=3+（n-1）•2=2n+1
所以，該數(shù)列為：3，5，7，9，11，13，15．（2分）
（3）在2tS_n+1-3（t-1）S_n=2t（n∈N^*）中，令n=1，得．
∵2tS_n+1-3（t-1）S_n=2t（n∈N^*）①
可得2tS_n-3（t-1）S_n-1=2t（n∈N^*，n＞1）②
①減去②得：，且．（2分）
∵，
∴．（當t=1時，數(shù)列為1，0，0…，顯然不合題意）
所以，{a_n}是首項a₁=1，公比的等比數(shù)列，且公比0＜|q|＜1．（2分）
設(shè)項數(shù)n=3，∵，
∴，
∴，解得或（舍）
由解得
所以，當時，對應的數(shù)列為．（2分）
設(shè)數(shù)列{a_n}為無窮數(shù)列，
由題意，得，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴．
所以，當時，對應的數(shù)列為（2分）
分析：（1）{a_n}是等差數(shù)列，則S″-S′=（a₂-a₁）+（a₄-a₃）…（a_2n-a_2n-1）=d+d+…d=d×求出n，再利用等差數(shù)列前n項和公式計算
（2）{a_n}是等差數(shù)列，根據(jù)條件，結(jié)合（1）判斷n是奇數(shù)．利用等差數(shù)列性質(zhì)和求和公式，得出，
得出項數(shù)，繼而分類寫出滿足條件的數(shù)列．
（3）根據(jù)Sn與an的固有關(guān)系an=，得出，借助于等比數(shù)列性質(zhì)解決．
點評：本題考查等差數(shù)列前n項和公式及其應用，轉(zhuǎn)化代換的方法．等比數(shù)列判定，分類討論、計算能力．