設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓+=1(a>b>0)上的兩點,滿足(,)·(,)=0,橢圓的離心率e=,短軸長為2,O為坐標原點.

(1)求橢圓的方程;

(2)若直線AB過橢圓的焦點F(0,c)(c為半焦距),求直線AB的斜率k的值;

(3)試問:三角形AOB的面積是否為定值?如果是,請寫出推理過程;如果不是,請說明理由.

解:(1)由=3a2=4c2a2=4b2,

    又2b=2,∴b=1,a2=4.橢圓方程為:+x2=1.

(2)設(shè)直線AB的方程為:y=kx+c,代入橢圓方程并化簡得:(k2+4)x2+2kcx+c2-4=0.

∴x1+x2=①.x1·x2=. ②

+=0,∴x1x2+=0.

又y1y2=(kx1+)(kx2+)=k2x1x2+k·(x1+x2)+3,

∴(4+k2)x1x2+k·(x1+x2)+3=0.

    把①、②代入上式,并化簡得:

k2=2,k=±.

(3)當直線AB的斜率存在時,設(shè)其方程為:y=kx+m,代入橢圓方程并整理得:(k2+4)x2+2kmx+m2-4=0.

x1+x2=,x1·x2=.∴(x1-x2)2=.

    又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2,

    且4x1x2+y1y2=0,∴2m2=k2+4,(x1-x2)2=,

∴S△AOB=|m|·|x1-x2|=·|m|·=1.

    又當直線AB的斜率不存在時,S△AOB=1,

∴S△AOB為定值1.


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