Question

已知f（x）=log₃，x∈（0，+∞），是否存在實(shí)數(shù)a、b，使f（x）同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：
（1）f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）f（x）的最小值是1，若存在，求出a、b，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：法一：設(shè)g（x）=，由f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)可知g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，再由f（x）的最小值是1可知，據(jù)此可以求出兩個(gè)條件的實(shí)數(shù)a和b．
法二：因?yàn)榈讛?shù)3＞1，故原函數(shù)的單調(diào)性與 u=（x²^2+ax+b）的單調(diào)性相同，（x＞0），u=x++a．當(dāng)b=0時(shí)，u=x+a是增函數(shù)，與題意不符當(dāng)b＜0時(shí)，u=x++a也是增函數(shù)，也不符．故b＞0．由此能求出a=1，b=1．
解答：解法一：存在實(shí)數(shù)a、b，使f（x）同時(shí)滿足兩個(gè)條件．具體求解過程如下：
設(shè)g（x）=，
∵f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴，∴，解得
經(jīng)檢驗(yàn)，a=1，b=1時(shí)，f（x）滿足題設(shè)的兩個(gè)條件．
解法二：因?yàn)榈讛?shù)3＞1
故原函數(shù)的單調(diào)性與 u=（x²^2+ax+b）的單調(diào)性相同，（x＞0）
u=x++a
當(dāng)b=0時(shí)，u=x+a是增函數(shù)，與題意不符
當(dāng)b＜0時(shí)，u=x++a也是增函數(shù)，也不符
故b＞0
u=x++a≥2+a（當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號）
該函數(shù)在（0，）減，在（，+∞）增
故：=1，b=1
f（x）的最小值是log₃（2+a）=1
a+2=3，a=1
綜上：a=1，b=1．
點(diǎn)評：求解存在性問題時(shí)，要注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，從而建立起適當(dāng)?shù)姆匠袒蚍匠探M，使問題得以解決．