Question

正三棱錐P-ABC中，PA=1，則其體積的最大值是________．

Answer 1

分析：設H為底面△ABC的中心，延長AH交BC于E，連接PH．設AB=x，則AH=x，得三棱錐P-ABC體積V=x²，最后利用基本不等式求最值，可得當且僅當x=時，正三棱錐P-ABC體積的最大值為．
解答：解：設H為底面△ABC的中心，延長AH交BC于E，連接PH
∵三棱錐P-ABC是正三棱錐
∴PH⊥平面ABC，且AE是BC邊上的中線
設AB=x，則AH=AE=x=x
Rt△PAH中，PH==
∴三棱錐P-ABC體積V=S_△ABC•AH=×x²×
=x²
∵x²=2，
且••（3-x²）≤（）³=1
∴x²≤2，可得V=x²≤
當且僅當=3-x²時，即x=時，正三棱錐P-ABC體積的最大值為
故答案為：
點評：本題給出正三棱錐的側棱長為1，求體積的最大值．著重考查了正三棱錐的性質和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．