Question

已知函數(shù) ．若對任意的實數(shù)x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：函數(shù) 的解析式可化為f（x）=，令t=，（t≥3），則f（x）=y=1+，結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，并分析出函數(shù)的值域，構(gòu)造關(guān)于k的不等式，求出各種情況下實數(shù)k的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得實數(shù)k的取值范圍．
解答：解：∵函數(shù) =
令t=，（t≥3）
則f（x）=y=1+
若k-1＜0，即k＜1，函數(shù)y=1+在[3，+∞）上為增函數(shù)
此時的函數(shù)f（x）=y值域為[1+，1）
若不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立
則2（1+）≥1，就可以滿足條件
解得＜1
若k-1=0，即k=1，
f（x）=1，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）顯然成立
若k-1＞0，即k＞1
函數(shù)y=1+在[3，+∞）上為減函數(shù)
此時的函數(shù)f（x）=y值域為（1，1+]
若不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立
則1+1≥1+，
解得1＜k≤4
綜上所述：≤4
故答案為：≤4
點評：本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中利用換元思想及基本不等式將函數(shù)的解析式化為f（x）=y=1+，是解答的關(guān)鍵．