Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，已知AB=2，AC=AP=4，PB=2

5

，PA⊥BC，∠BAC=60°．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABC；
（Ⅱ）若E為AB的中點，求直線CE與平面PAB所成角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明PA⊥AB，利用PA⊥BC，AB∩BC=B，即可證明PA⊥平面ABC；
（Ⅱ）求出C到平面PAB的距離，CE，即可求直線CE與平面PAB所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵AB=2，AP=4，PB=2

5

，
∴AB²+AP²=PB²，∴PA⊥AB，
∵PA⊥BC，AB∩BC=B，
∴PA⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：設(shè)C到平面PAB的距離為h，直線CE與平面PAB所成角為α，則
由等體積可得

1

3

•

1

2

•4•2•sin60°=

1

3

•

1

2

•4•2•h，
∴h=

3

2

，
∵E為AB的中點，
∴CE=

1+12

=

13

，
∴sinα=

3 2

13

=

3

2 13

，
∴cosα=

7 13

26

．

點評：本題考查線面垂直，考查線面角，正確運用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．