Question

已知函數(shù)f（x）=

1+lnx

x

（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+1）上有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（2）當(dāng)n∈N^*，n≥2時(shí)，求證：nf（n）＜2+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

（提示：證明ln（1+x）＜x，（x＞0））

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+1）上有極值⇒f′（x）=0在（a，a+1）上有根，結(jié)合條件由函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)有唯一極值點(diǎn)x=1，1∈（a，a+1）．
（2）結(jié)合函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性可得，f （

1

n

+1）＜f（1）=1⇒1+f（1+

1

n

）＜1+f（1）⇒ln（n+1）-lnn＜

1

n

，利用該結(jié)論分別把n=1，2，3，…代入疊加可證．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1+lnx

x

，∴f′（x）=-

lnx

x2

，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)；在區(qū)間（1，+∞）為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，而函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+1）有極值．
∴

a＜1 a+1＞1

，解得：0＜a＜1，
（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）為減函數(shù)，而1+

1

n

＞1（n∈N*，n≥2），
∴f （

1

n

+1）＜f（1）=1，
∴1+ln（1+

1

n

）＜1+

1

n

，
即ln（n+1）-lnn＜

1

n

，
∴l(xiāng)nn=ln2-ln1+ln3-ln2+…+lnn-ln（n-1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，
∴1+lnn＜2+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，
而n•f（n）=1+lnn，
∴nf（n）＜2+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，結(jié)論成立．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)存在極值的性質(zhì)，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，及利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，要注意疊加法及放縮法在證明不等式中的應(yīng)用．