Question

已知函數(shù)（x-1）f（

x+1

x-1

）-f（x）=x，其中x≠1，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，令

x+1

x-1

=t，解得x=

t+1

t-1

，然后，將此代人已知等式，化簡(jiǎn)得到

2

t-1

f(t)-f(

t+1

t-1

)=

t+1

t-1

，然后，聯(lián)立方程組，從而得到函數(shù)f（x）的解析式．

解答： 解：設(shè)

x+1

x-1

=t，
則x=

t+1

t-1

，
∴(

t+1

t-1

-1)f(t)-f(

t+1

t-1

)=

t+1

t-1

，

∴

2

t-1

f(t)-f(

t+1

t-1

)=

t+1

t-1

 
∴

2

x-1

f(x)-f(

x+1

x-1

)=

x+1

x-1

   ①
∵（x-1）f（

x+1

x-1

）-f（x）=x    ②
聯(lián)立①②，解得
f（x）=2x+1，（x≠1），
∴函數(shù)f（x）的解析式f（x）=2x+1，（x≠1）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的解析式求解方法，理解換元法在求解函數(shù)解析式中的應(yīng)用，屬于中檔題．