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已知數列{an}的前n項和為Sn,且滿足:a1a(a≠0),an+1rSn(n∈N*,r∈R,r≠-1).

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)若存在k∈N*,使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差數列,試判斷:對于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,amam+2是否成等差數列,并證明你的結論.


解析 (1)由已知an+1rSn,可得an+2rSn+1,兩式相減可得an+2an+1r(Sn+1Sn)=ran+1,即an+2=(r+1)an+1,又a2ra1ra,

所以當r=0時,數列{an}為:a,0,…,0,…;

r≠0,r≠-1時,由已知a≠0,所以an≠0(n∈N*),

于是由an+2=(r+1)an+1,可得r+1(n∈N*),

a2a3,…,an,…成等比數列,

∴當n≥2時,anr(r+1)n-2a.

綜上,數列{an}的通項公式為an

(2)對于任意的m∈N*,且m≥2,am+1am,am+2成等差數列.證明如下:

r=0時,由(1)知,an

∴對于任意的m∈N*,且m≥2,am+1am,am+2成等差數列.

r≠0,r≠-1時,∵Sk+2Skak+1ak+2,Sk+1Skak+1.若存在k∈N*

使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差數列,則Sk+1Sk+2=2Sk,

∴2Sk+2ak+1ak+2=2Sk,即ak+2=-2ak+1.

由(1)知,a2,a3,…,am,…的公比r+1=-2,于是

對于任意的m∈N*,且m≥2,am+1=-2am,從而am+2=4am,

am+1am+2=2am,即am+1,am,am+2成等差數列.

綜上,對于任意的m∈N*,且m≥2,am+1am,am+2成等差數列.


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