已知數列{an}的前n項和為Sn,且滿足:a1=a(a≠0),an+1=rSn(n∈N*,r∈R,r≠-1).
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)若存在k∈N*,使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差數列,試判斷:對于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2是否成等差數列,并證明你的結論.
解析 (1)由已知an+1=rSn,可得an+2=rSn+1,兩式相減可得an+2-an+1=r(Sn+1-Sn)=ran+1,即an+2=(r+1)an+1,又a2=ra1=ra,
所以當r=0時,數列{an}為:a,0,…,0,…;
當r≠0,r≠-1時,由已知a≠0,所以an≠0(n∈N*),
于是由an+2=(r+1)an+1,可得=r+1(n∈N*),
∴a2,a3,…,an,…成等比數列,
∴當n≥2時,an=r(r+1)n-2a.
綜上,數列{an}的通項公式為an=
(2)對于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差數列.證明如下:
當r=0時,由(1)知,an=
∴對于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差數列.
當r≠0,r≠-1時,∵Sk+2=Sk+ak+1+ak+2,Sk+1=Sk+ak+1.若存在k∈N*,
使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差數列,則Sk+1+Sk+2=2Sk,
∴2Sk+2ak+1+ak+2=2Sk,即ak+2=-2ak+1.
由(1)知,a2,a3,…,am,…的公比r+1=-2,于是
對于任意的m∈N*,且m≥2,am+1=-2am,從而am+2=4am,
∴am+1+am+2=2am,即am+1,am,am+2成等差數列.
綜上,對于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差數列.
科目:高中數學 來源: 題型:
把1,3,6,10,15,21這些數叫做三角形數,這是因為這些數目的點子可以排成一個正三角形(如圖所示).
則第七個三角形數是( ).
A.27 B.28 C.29 D.30
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科目:高中數學 來源: 題型:
已知數列{xn}滿足lg xn+1=1+lg xn(n∈N*),且x1+x2+x3+…+x100=1,則lg(x101+x102+…+x200)=________.
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