Question

如圖5，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)和橢圓均過(guò)點(diǎn)，且以的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形.
(1)求的方程；
(2)是否存在直線(xiàn)，使得與交于兩點(diǎn)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，且？證明你的結(jié)論.

Answer 1

(1)  (2)不存在

試題分析:(1)利用正方形面積為2,即可得到對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為2,則可得的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo),求的的值,再結(jié)合點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上,代入雙曲線(xiàn)結(jié)合之間的關(guān)系即可求的的值,得到雙曲線(xiàn)的方程,橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)已知,點(diǎn)在橢圓上,利用橢圓的定義即為到兩焦點(diǎn)的距離之和,求出距離即可得到的值,利用之間的關(guān)系即可求出的值,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)分以下兩種情況討論,當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí),直線(xiàn)與只有一個(gè)公共點(diǎn),即直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn),得到直線(xiàn)的方程,代入雙曲線(xiàn)求的點(diǎn)的坐標(biāo)驗(yàn)證是否符合等式,當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí),直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)消元得到二次方程,再利用根與系數(shù)之間的關(guān)系得到關(guān)于兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之和的表達(dá)式,利用出,再立直線(xiàn)與橢圓的方程即可得到直線(xiàn)的關(guān)系,可得到內(nèi)積不可能等于0,進(jìn)而得到,即,即不存在這樣的直線(xiàn).
的焦距為,由題可得,從而,因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)上,所以,由橢圓的定義可得
,于是根據(jù)橢圓之間的關(guān)系可得,所以的方程為.
(2)不存在符合題設(shè)條件的直線(xiàn).
①若直線(xiàn)垂直于軸,即直線(xiàn)的斜率不存在,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824053600082280.png" style="vertical-align:middle;" />與只有一個(gè)公共點(diǎn),所以直線(xiàn)的方程為或,
當(dāng)時(shí),易知所以,此時(shí).
當(dāng)時(shí),同理可得.
②當(dāng)直線(xiàn)不垂直于軸時(shí),即直線(xiàn)的斜率存在且設(shè)直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程可得,當(dāng)與相交于兩點(diǎn)時(shí),設(shè),則滿(mǎn)足方程,由根與系數(shù)的關(guān)系可得,于是,聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓可得
,因?yàn)橹本�(xiàn)與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn),
所以,化簡(jiǎn)可得,因此
,
于是,即,所以,
綜上不存在符合題目條件的直線(xiàn).