Question

求最小的正整數(shù)m，n（n≥2），使得n個邊長為m的正方形，恰好可以割并成n個邊長分別為1，2，…，n的正方形．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：依題意n個邊長為m的正方形，恰好可以割并成n個邊長分別為1，2，…，n的正方形等價于1²+2²+…+n²=nm²，即6m²=（n+1）（2n+1），則（n+1）（2n+1）=2n²+3n+1≡0（mod6），由n²≡0，1，3，4（mod6）知n≡±1（mod6），再分類討論，即可求出最小的正整數(shù)m，n．

解答： 解：依題意n個邊長為m的正方形，恰好可以割并成n個邊長分別為1，2，…，n的正方形等價于1²+2²+…+n²=nm²，
即6m²=（n+1）（2n+1），
則（n+1）（2n+1）=2n²+3n+1≡0（mod6），
由n²≡0，1，3，4（mod6）知n≡±1（mod6）．
若6|n+1，設(shè)n=6k-1（k∈N），得m²=k（12k-1），
因為（k，12k-1）=1，
所以k與12k-1都是完全平方數(shù)，但12k-1≡3 （mod4）矛盾!
若6|n-1，設(shè)n=6k+1（k∈N），得m²=（3k+1）（4k+1），因（3k+1，4k+1）=1，所以，
3k+1=v²，4k+1=u²，消去k得4v²-3u²=1，v=u=1時，k=0，n=1，但n≥2，故u＞1，v＞1．
由4v²-3u²≡1（mod8）知u，v為奇數(shù)，
直接計算得u_min=15，v_min=13，k=56，所以，
m_最小=15×13=195，n_最小=337．

點評：本題考查合情推理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，n個邊長為m的正方形，恰好可以割并成n個邊長分別為1，2，…，n的正方形等價于1²+2²+…+n²=nm²，是解題的關(guān)鍵．