Question

18．給出下列命題：
①存在實數x，使$sinx+cosx=\frac{3}{2}$；
②若α，β是第一象限角，且α＞β，則cosα＜cosβ；
③函數y=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，得到函數$y=sin（2x+\frac{π}{4}）$的圖象；
④定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x+2）=f（-x），當0≤x≤1時，f（x）=2x，
則f（2015）=-2．
其中正確命題是④（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析 ①，由 sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）$≤\sqrt{2}$；不可能；
②舉反例：α=420⁰，β=10⁰是第一象限角，且α＞β，則cosα＞cosβ；
③函數y=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，得到函數y=2sin2（x+$\frac{π}{4}$）的圖象；
④定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x+2）=f（-x）⇒f（x+2）=f（-x）=-f（x）⇒f（x+4）=f（x）⇒周期T=4；則f（2015）=f（3）=f（-1）．

解答 解：對于①，由 sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）$≤\sqrt{2}$；不可能，故錯；
對于②，舉反例：α=420⁰，β=10⁰是第一象限角，且α＞β，則cosα＞cosβ，故錯；
對于③，函數y=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，得到函數y=2sin2（x+$\frac{π}{4}$）的圖象，故錯；
對于④，定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x+2）=f（-x）⇒f（x+2）=f（-x）=-f（x）⇒f（x+4）=f（x）⇒周期T=4；則f（2015）=f（3）=f（-1）=-f（1）=-2，故正確．
故答案：④．

點評 本題考查了命題的真假判定，涉及到了三角函數的概念及性質，屬于中檔題．