Question

已知拋物線(xiàn)C的方程為x²=2py（p＞0），焦點(diǎn)F為 （0，1），點(diǎn)P（x₁，y₁）是拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l于點(diǎn)A（s，t）．
（1）求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若x₁∈[1，4]，求s的取值范圍．
（3）過(guò)點(diǎn)A作拋物線(xiàn)C的另一條切線(xiàn)AQ，其中Q（x₂，y₂）為切點(diǎn)，試問(wèn)直線(xiàn)PQ是否恒過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F（0，1）可求P，進(jìn)而可求拋物線(xiàn)的方程
（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得過(guò)P的切線(xiàn)斜率，進(jìn)而可求切線(xiàn)方程，在切線(xiàn)方程中，令y=-1可求S關(guān)于x₁的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求S的范圍
（3）猜測(cè)直線(xiàn)PQ恒過(guò)點(diǎn)F（0，1），由題得P(x1，

x 2 1

4

)，Q(x2，

x 2 2

4

)，x₁≠x₂，要證點(diǎn)P、F、Q三點(diǎn)共線(xiàn)，只需證k_PF=k_QF，

解答：（本題滿(mǎn)分15分）
解：（1）由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F（0，1）可得p=2
故所求的拋物線(xiàn)的方程為x²=4y…（3分）
（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得過(guò)P的切線(xiàn)斜率k=y′|x=x1=

1

2

x1．
∴切線(xiàn)方程為y-y1=

1

2

x1(x-x1)．
∵準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-1． 
在切線(xiàn)方程中，令y=-1       …（5分）
可得s=

x1

2

-

2

x1

．           …（7分）
又s在[1，4]單調(diào)遞增
∴s的取值范圍是-

3

2

≤s≤

3

2

．…（10分）
（3）猜測(cè)直線(xiàn)PQ恒過(guò)點(diǎn)F（0，1）…（11分）
由題得P(x1，

x 2 1

4

)，Q(x2，

x 2 2

4

)，x₁≠x₂
要證點(diǎn)P、F、Q三點(diǎn)共線(xiàn)，只需證k_PF=k_QF，即證x₁x₂=-4…（13分）
由（2）知s=

x1

2

-

2

x1

，同理得s=

x2

2

-

2

x2

，故

x1

2

-

2

x1

=

x2

2

-

2

x2

∴

x1-x2

2

=

2

x1

-

2

x2

=

2(x2-x1)

x1x2

∵x₁≠x₂
∴x₁x₂=-4
∵K_PF=

x12-1 4

x1

=

x12-1

4x1

，KQF=

x22-1

4x2

=

(- 1 x1 )2- 1

4(- 1 x1 )

=

1-x12

-4x1

=

x12- 1

4x1

=K_PF
從而可知點(diǎn)P、F、Q三點(diǎn)共線(xiàn)，即直線(xiàn)PQ恒過(guò)點(diǎn)F（0，1）…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用拋物線(xiàn)的性質(zhì)求解拋物線(xiàn)的方程及利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程，其中解（2）的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用函數(shù)y=

x

2

-

2

x

的單調(diào)性．