Question

某高科技企業(yè)研制出一種型號(hào)為A的精密數(shù)控車床，A型車床為企業(yè)創(chuàng)造的價(jià)值逐年減少（以投產(chǎn)一年的年初到下一年的年初為A型車床所創(chuàng)造價(jià)值的第一年）．若第1年A型車床創(chuàng)造的價(jià)值是250萬(wàn)元，且第1年至第6年，每年A型車床創(chuàng)造的價(jià)值減少30萬(wàn)元；從第7年開始，每年A型車床創(chuàng)造的價(jià)值是上一年價(jià)值的50%．現(xiàn)用表示A型車床在第n年創(chuàng)造的價(jià)值．
（1）求數(shù)列{a_n}（n∈N^*）的通項(xiàng)公式a_n；
（2）記S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和，．企業(yè)經(jīng)過成本核算，若T_n＞100萬(wàn)元，則繼續(xù)使用A型車床，否則更換A型車床．試問該企業(yè)須在第幾年年初更換A型車床？（已知：若正數(shù)數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，則數(shù)列也是單調(diào)遞減數(shù)列）．

Answer 1

【答案】分析：（1）依據(jù)題意，知a₁，a₂，…，a₆構(gòu)成首項(xiàng)為a₁=250，公差d=-30的等差數(shù)列，構(gòu)成首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，從而可得數(shù)列{a_n}（n∈N^*）的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知，{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，于是，數(shù)列{T_n}也是單調(diào)遞減數(shù)列，先判斷T_n＞100（1≤n≤6），再判斷當(dāng)n=11時(shí)，T₁₁＞104（萬(wàn)元）；當(dāng)n=12時(shí)，T₁₂＜96（萬(wàn)元），從而可得結(jié)論．
解答：解：（1）依據(jù)題意，知a₁，a₂，…，a₆構(gòu)成首項(xiàng)為a₁=250，公差d=-30的等差數(shù)列．
故（萬(wàn)元）．       （3分）
構(gòu)成首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列．
因此，（萬(wàn)元）． （6分）
于是，（萬(wàn)元）． （7分）
（2）由（1）知，{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，于是，數(shù)列{T_n}也是單調(diào)遞減數(shù)列．
∵（萬(wàn)元），（萬(wàn)元），
∴T_n＞100（1≤n≤6）．
∴當(dāng)n≥7時(shí)，
==（萬(wàn)元）．     （9分）
當(dāng)n=11時(shí)，T₁₁＞104（萬(wàn)元）；當(dāng)n=12時(shí)，T₁₂＜96（萬(wàn)元）．      （13分）
∴當(dāng)n≥12，n∈N^*時(shí)，恒有T_n＜96．
∴該企業(yè)需要在第11年年初更換A型車床． （14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．