Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AB=AA₁，E、F分別是棱BC，A₁A的中點(diǎn)，G為棱CC₁上的一點(diǎn)，且C₁F∥平面AEG．
（Ⅰ）求

CG

CC1

的值；
（Ⅱ）求證：EG⊥A₁C；
（Ⅲ）求二面角A₁-AG-E的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出C₁F∥AG，G為CC₁中點(diǎn)，由此求出

CG

CC1

=

1

2

．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能證明EG⊥CA₁．
（Ⅲ）分別求出平面AEG的法向量和平面A₁AG的法向量，利用向量法能求出二面角A₁-AG-E的余弦值．

解答： （Ⅰ）解：因?yàn)镃₁F∥平面AEG，又C₁F?平面ACC₁A₁，
平面ACC₁A₁∩平面AEG=AG，
所以C₁F∥AG．（3分）
因?yàn)镕為AA₁中點(diǎn)，且側(cè)面ACC₁A₁為平行四邊形，
所以G為CC₁中點(diǎn)，所以

CG

CC1

=

1

2

．（4分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)锳A₁⊥底面ABC，
所以AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，（5分）
又AB⊥AC，
如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)AB=2，則由AB=AC=AA₁，得C（2，0，0），B（0，2，0），C₁（2，0，2），A₁（0，0，2），A（0，0，0），（6分）
因?yàn)镋，G分別是BC，CC₁的中點(diǎn)，
所以E（1，1，0），G（2，0，1）．（7分）
所以

EG

=(1，-1，1)，

CA1

=(-2，0，2)，
因?yàn)?span id="tlpnlfl" class="MathJye">

EG

•

CA1

=（1，-1，1）•（-2，0，2）=0．（8分）
所以

EG

⊥

CA1

，
所以EG⊥CA₁．（9分）
（Ⅲ）解：設(shè)平面AEG的法向量

n

=(x，y，z)，
因?yàn)?span id="tnv9hrr" class="MathJye">

AE

=(1，1，0)，

AG

=(2，0，1)，
所以

n • AE =x+y=0 n • AG =2x+z=0

，（10分）
令x=1，得

n

=（1，-1，-2）．（11分）
由已知得平面A₁AG的法向量

m

=(0，1，0)，（11分）
所以cos＜

n

，

m

＞=

-1

6

=-

6

6

，（13分）
由題意知二面角A₁-AG-E為鈍角，
所以二面角A₁-AG-E的余弦值為-

6

6

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩條線段的比值的求法，考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．