Question

如圖，點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓上移動(dòng)，且AB=1，過點(diǎn)P作圓的切線PC，使PC=1．連接BC，當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，四邊形ABCP的面積等于

1

2

？

Answer 1

分析：設(shè)∠PAB=α，連接PB．根據(jù)題意設(shè)出PA和PB，利用PC是切線推斷出∠BPC=α．利用三角形面積公式分別表示出S_△APB和S_△BPC，利用兩角和公式和二倍角公式整理后，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得α．

解答：解：設(shè)∠PAB=α，連接PB．
∵AB是直徑，∴∠APB=90°．
又AB=1，∴PA=cosα，PB=sinα．
∵PC是切線，∴∠BPC=α．又PC=1，
∴S_{四邊形ABCP}=S_△APB+S_△BPC
=

1

2

PA•PB+

1

2

PB•PC•sinα=

1

2

cosαsinα+

1

2

sin2α=

1

4

sin2α+

1

4

（1-cos2α）
=

1

4

(sin2α-cos2x)+

1

4

=

2

4

sin(2α-

π

4

)+

1

4

由已知，

2

4

sin(2α-

π

4

)+

1

4

=

1

2

∴sin(2α-

π

4

)=

2

2

又α?(0，

π

2

)，
∴2α-

π

4

∈(-

π

4

，

3π

4

)．
∴2α-

π

4

=

π

4

，∴α=

π

4

故當(dāng)點(diǎn)P位于AB的中垂線與半圓的交點(diǎn)時(shí)，
四邊形ABCP的面積等于

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型．注重了基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算能力的考查．