Question

已知f（x）=x²（1nx-a）+a，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　　）

• A、?a＞0，?x＞0，f（x）≥0
• B、?a＞0，?x＞0，f（x）≤0
• C、?a＞0，?x＞0，f（x）≥0
• D、?a＞0，?x＞0，f（x）≤0

Answer 1

考點(diǎn)：全稱命題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的最小值，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）≥0恒成立，構(gòu)造函數(shù)設(shè)g（a）=-

1

2

e^2a-1+a，再利用導(dǎo)數(shù)求出a的值，問題的得以解決

解答： 解：∵f（x）=x²（1nx-a）+a，x＞0，
∴f′（x）=x（21nx-2a+1），
令f′（x）=0，解得x=ea-

1

2

，
當(dāng)x∈（0，ea-

1

2

）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（ea-

1

2

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x=ea-

1

2

，函數(shù)有最小值，最小值為f（ea-

1

2

）=-

1

2

e^2a-1+a
∴f（x）≥f（ea-

1

2

）=-

1

2

e^2a-1+a，
若f（x）≥0恒成立，
只要-

1

2

e^2a-1+a≥0，
設(shè)g（a）=-

1

2

e^2a-1+a，
∴g′（a）=1-e^2a-1，
令g′（a）=0，解得a=

1

2

當(dāng)a∈（

1

2

，+∞）時(shí)，g′（a）＜0，g（a）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（0，

1

2

）時(shí)，g′（a）＞0，g（a）單調(diào)遞增
∴g（a）＜g（

1

2

）=0，
∴-

1

2

e^2a-1+a≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a=

1

2

時(shí)取等號(hào)，存在唯一的實(shí)數(shù)a=

1

2

，使得對(duì)任意x∈（0，+∞），f（x）≥0，故A，B，D正確，
當(dāng)a≠

1

2

時(shí)，f（x）＜0，故C錯(cuò)誤
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)恒成立的問題，關(guān)鍵構(gòu)造函數(shù)g（a），屬于中檔題