Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x²+ax+3（a＞0）．
（1）求函數(shù)y=f（x）最大值；
（2）若函數(shù)在（0，3）上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對于給定的正數(shù)a，有一個最大的正數(shù)l（a），使得在整個區(qū)間[0，l（a）]上，不等式|f（x）|≤5都成立，求l（a）表達(dá)式，并求函數(shù)l（a）最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用配方法求二次函數(shù)的最值；
（2）根據(jù)零點(diǎn)的判定方法，得f（0）=3＞0，固有f（3）＜0；
（3）分情況進(jìn)行討論．

解答： 解：（1）f(x)=-x2+ax+3=-(x-

a

2

)2+

1

4

a2+3，
故函數(shù)最大值fmax=

1

4

a2+3，
（2）由題意，因?yàn)閒（0）=3＞0，圖象開口朝下，
則必有f（3）＜0，
解得a∈（0，2）；
（3）由f(x)=-x2+ax+3=-(x-

a

2

)2+

1

4

a2+3，
當(dāng)

1

4

a2+3＞5時，即a＞2

2

，
l（a）是方程-x²+ax+3=5的較小根，
解得l(a)=

a- a2-8

2

；
當(dāng)

1

4

a2+3≤5時，即0≤a≤2

2

時，
l（a）是方程-x²+ax+3=-5的較大根，
解得l(a)=

a+ a2+32

2

；
綜上：l(a)=

a+ a2+32 2   (0＜a≤2 2 ) a- a2-8 2   (a＞2 2 )

---------（7分）

（3）當(dāng)0≤a≤2

2

時，l(a)=

a+ a2+32

2

≤

2 2 + 8+32

2

=

2

+

10

當(dāng)a＞2

2

時，l(a)=

a- a2-8

2

=

4

a+ a2-8

＜

4

2 2 + 8-8

=

2

對比可知：當(dāng)a=2

2

時，l（a）取到最大值

2

+

10

---------（10分）

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性、最值、零點(diǎn)等知識，屬于中檔題．