Question

已知x=1是函數(shù)f(x)=2x+

a

x

+lnx的一個(gè)極值點(diǎn)，
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，建立方程關(guān)系即可求a的值；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（I）因?yàn)?span id="v9vb6wo" class="MathJye">f(x)=2x+

a

x

+lnx，
所以f′(x)=2-

a

x2

+

1

x

，
因?yàn)閤=1是f(x)=2x+

a

x

+lnx的一個(gè)極值點(diǎn)，
所以f'（1）=0，∴a=3，
經(jīng)檢驗(yàn)，適合題意，所以a=3．
（II）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=2-

3

x2

+

1

x

=

2x2+x-3

x2

=

(x-1)(x+ 3 2 )

x2

，
由f'（x）＞0，得x＞1，由f（x）＜0，得0＜x＜1
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）單增區(qū)間為（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．