分析：（1）將a=-
代入f（x），確定定義域為（0，+∞），利用導數(shù)判斷f′（x）在（0，+∞）上的正負，從而確定f（x）在定義域中的單調(diào)性；
（2）由于
＞1表示點（p+1，f（p+1）） 與點（q+1，f（q+1））連線的斜率，函數(shù)圖象上在區(qū)間（2，3）內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1，即f′（x）=2ax+lnx+1＞1 在（2，3）內(nèi)恒成立，最后利用參變量分離法可求出a的取值范圍；
（3）構造p（x）=
，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的最大值，從而得到
＜
，則
＜，即
＜，則則
+
+
+…+
＜
（
+
+…+
），然后利用放縮法可證得結(jié)論．
解答：解：（1）當a=-
時，f（x）=-
x
2+xlnx，
函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．
下面給出證明：
f′（x）=-x+lnx+1，
令g（x）=-x+lnx+1，則g′（x）=-1+
=
，
∴當x∈（0，1）時，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
當x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）在x=1時，g（x）取得最大值，即g（1）=0，
∴g（x）＜g（1）=0，即f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；
（2）由于
＞1表示點（p+1，f（p+1）） 與點（q+1，f（q+1））連線的斜率，
∵實數(shù)p，q在區(qū)間（1，2）內(nèi)，
∴p+1 和q+1在區(qū)間（2，3）內(nèi)．
∵不等式
＞1恒成立，
∴函數(shù)圖象上在區(qū)間（2，3）內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1，
∴f′（x）=2ax+lnx+1＞1 在（2，3）內(nèi)恒成立，
又由函數(shù)的定義域知，x＞0，
∴a＞-
在（2，3）內(nèi)恒成立，
令h（x）=-
，則h′（x）=
=0，解得x=e，
當x∈（2，e）時，h′（x）＜0，故函數(shù)h（x）在（2，e）上單調(diào)遞減，
當x∈（e，3）時，h′（x）＞0，故函數(shù)h（x）在（e，3）上單調(diào)遞增，
∴h（x）≤g（2）=-
，h（x）≤g（3）=-
，而-
＞-
，
∴a≥-
，即實數(shù)a的取值范圍是[-
，+∞）；
（3）證明：構造p（x）=
，則p′（x）=
=0，解得x=e，
當x∈（0，e）時，p′（x）＞0，故函數(shù)p（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，
當x∈（e，+∞）時，p′（x）＞0，故函數(shù)p（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當x=e時，函數(shù)p（x）取最大值
，則
＜
，
∴
＜，即
＜，
則
+
+
+…+
＜
（
+
+…+
）＜
[
+
+…+
]=
（1-
）＜
，
∴
+
+
+…+
＜
．
