如圖是以正方形ABCD為底面的正四棱柱被一平面所截得的幾何體,四邊形EFGH為截面,且數(shù)學(xué)公式,AE=1,BF=DH=2,CG=3
(Ⅰ)證明:截面四邊形EFGH是菱形;
(Ⅱ)求幾何體C-EFGH的體積.

解:(Ⅰ)證明:因為平面ABFE∥平面CDHG,且平面EFGH分別交
平面ABFE、平面CDHG于直線EF、GH,所以EF∥GH.
同理,F(xiàn)G∥EH.
因此,四邊形EFGH為平行四邊形.
因為BD⊥AC,而AC為EG在底面ABCD上的射影,所以EG⊥BD.
因為BF=DH,所以FH∥BD.
因此,F(xiàn)H⊥EG.
所以四邊形EFGH是菱形.
(Ⅱ)連接CE、CF、CH、CA,則VC-EFGH=V-VC-ABFE-VC-ADHE∵AE=1,BF=DH=2,CG=3且?guī)缀误w是以正方形ABCD為底面的正四棱柱的一部分,∴該幾何體的體積為
同理,得VC-ADHE=1
所以,VC-EFGH=V-VC-ABFE-VC-ADHE=4-1-1=2,
即幾何體C-EFGH的體積為2.
分析:(I)由題意及圖形因為平面ABFE∥平面CDHG,且平面EFGH分別交平面ABFE、平面CDHG于直線EF、GH,所以EF∥GH,又因為BD⊥AC,而AC為EG在底面ABCD上的射影,所以EG⊥BD,BF=DH,所以FH∥BD,利用直線成角的定義即可;
(II)連接CE、CF、CH、CA,則VC-EFGH=V-VC-ABFE-VC-ADHE,AE=1,BF=DH=2,CG=3幾何體是以正方形ABCD為底面的正四棱柱的一部分,所以該幾何體的體積利用體積具有分割法即可求得.
點評:此題考查了面面平行的性質(zhì)定理,平行四邊形的判定三垂線定理及直線所成的角,棱錐的體積公式及體積分割的原理.
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2
,AE=1,BF=DH=2,CG=3
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