如圖1，平面四邊形ABCD關(guān)于直線AC對稱，∠A=60°，∠C=90°，CD=2．把△ABD沿BD折起（如圖2），使二面角A﹣BD﹣C的余弦值等于．對于圖2，完成以下各小題：
（Ⅰ）求A，C兩點間的距離；
（Ⅱ）證明：AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．
解：（Ⅰ）取BD的中點E，連接AE，CE，
由AB=AD，CB=CD，得：AE⊥BD，CE⊥BD
∴∠AEC就是二面角A﹣BD﹣C的平面角， ∴ 
在△ACE中， 
AC2=AE2+CE2﹣2AECEcos∠AEC =
  ∴AC=2
（Ⅱ）由 ，AC=BC=CD=2
∴AC2+BC2=AB2，AC2+CD2=AD2，
∴∠ACB=∠ACD=90°
∴AC⊥BC，AC⊥CD，
又BC∩CD=C∴AC⊥平面BCD．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知BD⊥平面ACE
BD平面ABD ∴平面ACE⊥平面ABD
平面ACE∩平面ABD=AE，作CF⊥AE交AE于F，
則CF⊥平面ABD，∠CAF就是AC與平面ABD所成的角，
∴ ．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，平面四邊形ABCD中，A=
π
3
C=
π
2
，CB=CD=2，且AB=AD．把△ABD沿BD折起（如圖2），使二面角A-BD-C的余弦值等于
3
3
對于圖二，完成以下各小題：
（1）求AC的長；
（2）證明：AC⊥平面BCD；
（3）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，平面四邊形ABCD關(guān)于直線AC對稱，∠A=60°，∠C=90°，CD=2．把△ABD沿BD折起（如圖2），使二面角A-BD-C的余弦值等于
3
3
．對于圖2：
（Ⅰ）求AC；
（Ⅱ）證明：AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：廣東省期中題 題型：解答題

如圖1，平面四邊形ABCD關(guān)于直線AC對稱，∠A=60°，∠C=90°，CD=2，把△ABD沿BD折起（如圖2），使二面角A-BD-C的余弦值等于，對于圖2，完成以下各小題：
（1）求A，C兩點間的距離；
（2）證明：AC⊥平面BCD；
（3）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年四川省成都七中高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖1，平面四邊形ABCD關(guān)于直線AC對稱，∠A=60°，∠C=90°，CD=2．把△ABD沿BD折起（如圖2），使二面角A-BD-C的余弦值等于．對于圖2：
（Ⅰ）求AC；
（Ⅱ）證明：AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．

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