Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

cos2x-2sinxcosx-

3

，
（1）求函數(shù)f（x）的周期及最大值；
（2）若將f（x）的圖象向左平移

π

3

后，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的

1

2

倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[-

π

8

，

π

8

]上的值域．

Answer 1

分析：把函數(shù)解析式第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后提取2，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，
（1）找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

即可求出函數(shù)的最小正周期，再根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得出函數(shù)的最大值；
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移規(guī)律：左加右減，給x加上

π

3

，整理后，再把ω變?yōu)?ω，使其所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的

1

2

倍，確定出g（x）的解析式，由x的范圍求出g（x）中角度的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可得到g（x）的值域．

解答：解：f(x)=2

3

cos2x-2sinxcosx-

3

=

3

（1+cos2x）-sin2x-

3

=

3

cos2x-sin2x
=2cos（2x+

π

6

），
（1）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
又cos（2x+

π

6

）∈[-1，1]，
∴函數(shù)f（x）的最大值為2；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

3

個(gè)單位后，
得到函數(shù)f（x）=2cos（2x+

2π

3

+

π

6

）=-2sin（2x+

π

3

），
再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的

1

2

倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，
則g（x）的解析式為：g(x)=-2sin(4x+

π

3

)，
∵x∈[-

π

8

，

π

8

]，∴4x+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（4x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，
則g(x)=-2sin(4x+

π

3

)的值域?yàn)閇-2，1]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，涉及的知識(shí)有：二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，三角函數(shù)圖象的平移與變換規(guī)律，以及特殊角的三角函數(shù)值，其中利用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的余弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．