Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）＝x2+bln（x+1），其中b≠0．

（1）若b＝﹣12，求f（x）在[1，3]的最小值；

（2）如果f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）4﹣12ln3（2）

【解析】

（1）當(dāng)b＝﹣12時(shí)令由得x＝2則可判斷出當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增故f（x）在[1，3]的最小值在x＝2時(shí)取得；

（2）要使f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值即f（x）在定義域內(nèi)與X軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)即使在（﹣1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根即2x2+2x+b＝0在（﹣1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根這可以利用一元二次函數(shù)根的分布可得解之求b的范圍．

解：（1）由題意知，f（x）的定義域?yàn)椋?/span>1，+∞）

b＝﹣12時(shí)，由，得x＝2（x＝﹣3舍去），

當(dāng)x∈[1，2）時(shí)f′（x）＜0，當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，f′（x）＞0，

所以當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，

所以f（x）min＝f（2）＝4﹣12ln3．

（2）由題意在（﹣1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根，

即2x2+2x+b＝0在（﹣1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根，

設(shè)g（x）＝2x2+2x+b，則，解之得