Question

定義在R上的函數f（x），如果存在函數g（x）=kx+b（k，b為常數），使得f（x）≥g（x）對一切實數x都成立，則稱g（x）為函數f（x）的一個“承托函數”．現有如下命題：
①g（x）=x為函數f（x）=2^x的一個承托函數；
②若g（x）=kx+1為函數f（x）=

ln(-x)

x

的一個承托函數，則實數k的取值范圍是[

1

2

，+∞）；
③定義域和值域都是R的函數f（x）不存在承托函數；
④對給定的函數f（x），其承托函數可能不存在，也可能有無數個．
其中正確的命題是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：常規(guī)題型,簡易邏輯

分析：理解定義，逐一對命題進行判定．

解答： 解：①f（x）-g（x）=2^x-x，則f′（x）-g′（x）=ln2•2^x-1，
則當x=log2

1

ln2

時，f（x）-g（x）取得最小值為

1

ln2

-log2

1

ln2

，
由

1

2

＜ln2＜1得，

1

ln2

＞1，log2

1

ln2

＜1；則f（x）-g（x）＞0，
則g（x）=x為函數f（x）=2^x的一個承托函數；
②由函數f（x）=

ln(-x)

x

得定義域為（-∞，0）則沒有承托函數，不成立．
③令定義域和值域都是R的函數f（x）=x，g（x）=x+3，則g（x）為函數f（x）的一個“承托函數”．
④對給定的函數f（x），其承托函數可能不存在，若存在，若g（x）是函數f（x）的一個“承托函數”；則g（x）-k（k∈N^*）也是函數f（x）的一個“承托函數”；故有無數個．
故選：①④．

點評：對命題一一判定，理解承托函數的定義．屬于中檔題．