設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=(1+λ)-λan,其中λ≠-1,0;
(I)證明:數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(II)設數(shù)列{an}的公比q=f(λ),數(shù)列{bn}滿足b1=
1
2
,bn=f(bn-1)(n∈N*,n≥2)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(III)記λ=1,記Cn=an(
1
bn
-1)
,求數(shù)列{Cn}的前n項和為Tn
分析:(I)根據(jù)題意和an=sn-sn-1(n≥2)進行變形,再由等比數(shù)列的定義判斷得出;
(II)由(I)和題中所給的式子求出bn后,再進一步變形,判斷出{
1
bn
}
是等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出{bn}的通項公式;
(III)由前兩小題的結(jié)果求出Cn,再由錯位相減法求出該數(shù)列的前n項和為Tn
解答:解:(I)由Sn=(1+λ)-λan得,Sn-1=(1+λ)-λan-1(n≥2),
兩式相減得:an=-λan+λan-1,∴
an
an-1
=
λ
1+λ
(n≥2),
∵λ≠-1,0,∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(II)由(I)知,f(λ)=
λ
1+λ
,
∵bn=f(bn-1)(n∈N*),∴bn=
bn
1+bn-1
,即
1
bn
=
1
bn-1
+1

{
1
bn
}
是首項為
1
b1
=2
,公差為1的等差數(shù)列;
1
bn
=2+(n-1)=n+1
,
bn=
1
n+1
,
(III)λ=1時,q=
λ
1+λ
=
1
2
,且a1=1,∴an=(
1
2
)n-1
,
Cn=an(
1
bn
-1)=(
1
2
)n-1n

Tn=1+2(
1
2
)+3(
1
2
)2+…+n(
1
2
)n-1
,①
1
2
Tn=(
1
2
)+2(
1
2
)2+3(
1
2
)3+…+n(
1
2
)n

②-①得:
1
2
Tn=1+(
1
2
)+(
1
2
)2+(
1
2
)3+…+(
1
2
)n-1-n(
1
2
)n
,
1
2
Tn=1+(
1
2
)+(
1
2
)2+(
1
2
)3+…+(
1
2
)n-1-n(
1
2
)n=2(1-(
1
2
)n)-n(
1
2
)n
,
Tn=4(1-(
1
2
)n)-2n(
1
2
)n
點評:本題是數(shù)列的綜合題,涉及了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式,主要利用關(guān)系式an=sn-sn-1(n≥2)和構(gòu)造法進行變形,還涉及了錯位相減法求數(shù)列的前n項和,考查了分析問題和解決問題的能力.
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設數(shù)列{an}的前n項的和為Sn,且Sn=3n+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=an(2n-1),求數(shù)列{bn}的前n項的和.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設數(shù)列an的前n項的和為Sn,a1=
3
2
,Sn=2an+1-3

(1)求a2,a3;
(2)求數(shù)列an的通項公式;
(3)設bn=(2log
3
2
an+1)•an
,求數(shù)列bn的前n項的和Tn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
(Ⅰ)求an和an-1的關(guān)系式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域為Dn,若Dn內(nèi)的整點(整點即橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點)個數(shù)為an(n∈N*
(1)寫出an+1與an的關(guān)系(只需給出結(jié)果,不需要過程),
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設數(shù)列an的前n項和為SnTn=
Sn
5•2n
,若對一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•鄭州一模)設數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-1,則
S4
a3
的值為( �。�

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