Question

已知拋物線y²=2x，直線l過(guò)點(diǎn)（0，2）與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，以線段MN的長(zhǎng)為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線l的方程為y=kx+2，（k≠0）M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與拋物線的方程聯(lián)立可得k²x²+（4k-2）x+4=0，由△＞0，解得k＜

1

4

．由于以線段MN的長(zhǎng)為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，可得

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得k．

解答： 解：設(shè)直線l的方程為y=kx+2，（k≠0）M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=kx+2 y2=2x

，化為k²x²+（4k-2）x+4=0，
△=（4k-2）²-16k²＞0，解得k＜

1

4

．
∴x1+x2=

2-4k

k2

，x1x2=

4

k2

．
∵以線段MN的長(zhǎng)為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
∴

4(1+k2)

k2

+

2k(2-4k)

k2

+4=0，
化為k=-1．
∴直線l的方程為y=-x+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．