設(shè)函數(shù)的定義域為（0，）.

(Ⅰ)求函數(shù)在上的最小值；

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)，如果，且，證明：.

 

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，進(jìn)而求最值；(Ⅱ)分類討論函數(shù)的單調(diào)性

試題解析：(Ⅰ)，則時，；時，。

所以，函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+）上是增函數(shù).  2分

當(dāng)時，函數(shù)在[m，m+1]上是增函數(shù),

此時；

當(dāng)時，函數(shù)在[m， 1]上是減函數(shù),在[1，m+1]上是增函數(shù)，

此時；                                 6分

(Ⅱ)證明：考察函數(shù)， 

所以g(x)在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù).（結(jié)論1）

考察函數(shù)F(x)=g(x)-g(2-x)，即

于是

當(dāng)x>1時，2x-2>0,從而(x)>0,

從而函數(shù)F（x）在[1,+∞)是增函數(shù)。                                           

又F(1)=F(x)>F(1)=0,即g(x)>g(2-x). （結(jié)論2）  10分

若，由結(jié)論1及，得，與矛盾；

若，由結(jié)論1及，得，與矛盾；  12分

若不妨設(shè)

由結(jié)論2可知，g()>g(2-)，所以>g(2-)。

因為，所以，又由結(jié)論1可知函數(shù)g(x)在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)是增函數(shù)，

所以>,即>2.                  15分

考點：導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，分類討論.

 

練習(xí)冊系列答案
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（2010•北京模擬）定義函數(shù)y=f（x）：對于任意整數(shù)m，當(dāng)實數(shù)x∈(m-
1
2
，m+
1
2
)時，有f（x）=m．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)的定義域為D，畫出函數(shù)f（x）在x∈D∩[0，4]上的圖象；
（Ⅱ）若數(shù)列an=2+10(
2
5
)n（n∈N*），記Sn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），求Sn；
（Ⅲ）若等比數(shù)列bn的首項是b1=1，公比為q（q＞0），又f（b1）+f（b2）+f（b3）=4，求公比q的取值范圍．

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定義函數(shù)y=f（x）：對于任意整數(shù)m，當(dāng)實數(shù)x時，有f（x）=m．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)的定義域為D，畫出函數(shù)f（x）在x∈D∩[0，4]上的圖象；
（Ⅱ）若數(shù)列（n∈N*），記Sn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），求Sn；
（Ⅲ）若等比數(shù)列bn的首項是b1=1，公比為q（q＞0），又f（b1）+f（b2）+f（b3）=4，求公比q的取值范圍．

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（1）求；

（2）判斷y=f(x)在(0,+ ∞)上的單調(diào)性；

（3）一個各項均為正數(shù)的數(shù)列其中sn是數(shù)列的前n項和，求

 

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（1）求；

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