是否存在常數(shù)k和等差數(shù)列{an}，使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立，其中Sn為{an}的前n項和，若存在，試求出常數(shù)k和數(shù)列{an}的通項；若不存在，試說明理由．
【答案】分析：設(shè)an=pn+q（p，q為常數(shù)），則Kan2-1=kp2n2+2kpqn+kq2-1，
，
則，故有，由此能夠求出常數(shù)及等差數(shù)列滿足題意．
解答：解：假設(shè)存在常數(shù)k和等差數(shù)列{an}，使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立．
設(shè)an=pn+q（p，q為常數(shù)），則Kan2-1=kp2n2+2kpqn+kq2-1，
，
則，
故有，

由①得p=0或．當p=0時，由②得q=0，而p=q=0不適合③，故p≠0把代入②，得把代入③，又得，從而．故存在常數(shù)及等差數(shù)列滿足題意．
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時先假設(shè)存在常數(shù)k和等差數(shù)列{an}，使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立．然后再根據(jù)題設(shè)條件進行求解．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

是否存在常數(shù)k和等差數(shù)列{an}，使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立，其中Sn為{an}的前n項和，若存在，試求出常數(shù)k和數(shù)列{an}的通項；若不存在，試說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•鐘祥市模擬）設(shè){an}是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，Sn是其前n項和
（1）若Sn=20，S2n=40，求S3n的值；
（2）若互不相等正整數(shù)p，q，m，使得p+q=2m，證明：不等式SpSq＜Sm2成立；
（3）是否存在常數(shù)k和等差數(shù)列{an}，使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立（n∈N*），若存在，試求出常數(shù)k和數(shù)列{an}的通項公式；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011屆湖北省夷陵中學(xué)、鐘祥一中高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（12分）設(shè)｛an｝是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，Sn是其前n項和
（1）若Sn＝20，S2n＝40，求S3n的值；
（2）若互不相等正整數(shù)p，q，m，使得p＋q＝2m，證明：不等式SpSq＜S成立；
（3）是否存在常數(shù)k和等差數(shù)列｛an｝，使ka－1＝S2n－Sn+1恒成立（n∈N*），若存在，試求出常數(shù)k和數(shù)列｛an｝的通項公式；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年福建省高三11月月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

(本題滿分14分) 設(shè)｛an｝是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，Sn是其前n項和

（1）若，求的值；

（2）若互不相等正整數(shù)p，q，m，使得p＋q＝2m，證明：不等式成立；

（3）是否存在常數(shù)k和等差數(shù)列｛an｝，使恒成立（n∈N*），若存在，試求出常數(shù)k和數(shù)列｛an｝的通項公式；若不存在，請說明理由。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年湖北省、鐘祥一中高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（12分）設(shè)｛an｝是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，Sn是其前n項和

    （1）若Sn＝20，S2n＝40，求S3n的值；

    （2）若互不相等正整數(shù)p，q，m，使得p＋q＝2m，證明：不等式SpSq＜S成立；

    （3）是否存在常數(shù)k和等差數(shù)列｛an｝，使ka－1＝S2n－Sn+1恒成立（n∈N*），若存在，試求出常數(shù)k和數(shù)列｛an｝的通項公式；若不存在，請說明理由。

 

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