Question

7．如果對一切實數(shù)x、y，不等式$\frac{y}{4}$-cos²x≥asinx-$\frac{9}{y}$恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{4}{3}$]
• B． [3，+∞）
• C． [-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]
• D． [-3，3]

Answer 1

分析 將不等式$\frac{y}{4}$-cos²x≥asinx-$\frac{9}{y}$恒成立轉(zhuǎn)化為$\frac{y}{4}$+$\frac{9}{y}$≥asinx+1-sin²x恒成立，構(gòu)造函數(shù)f（y）=$\frac{y}{4}$+$\frac{9}{y}$，利用基本不等式可求得f（y）_min=3，于是問題轉(zhuǎn)化為asinx-sin²x≤2恒成立．通過對sinx＞0、sinx＜0、sinx=0三類討論，
可求得對應情況下的實數(shù)a的取值范圍，最后取其交集即可得到答案．

解答 解：?實數(shù)x、y，不等式$\frac{y}{4}$-cos²x≥asinx-$\frac{9}{y}$恒成立?$\frac{y}{4}$+$\frac{9}{y}$≥asinx+1-sin²x恒成立，
令f（y）=$\frac{y}{4}$+$\frac{9}{y}$，
則asinx+1-sin²x≤f（y）_min，
當y＞0時，f（y）=$\frac{y}{4}$+$\frac{9}{y}$≥2$\sqrt{\frac{y}{4}•\frac{9}{y}}$=3（當且僅當y=6時取“=”），f（y）_min=3；
當y＜0時，f（y）=$\frac{y}{4}$+$\frac{9}{y}$≤-2$\sqrt{（-\frac{y}{4}）•（-\frac{9}{y}）}$=-3（當且僅當y=-6時取“=”），f（y）_max=-3，f（y）_min不存在；
綜上所述，f（y）_min=3．
所以，asinx+1-sin²x≤3，即asinx-sin²x≤2恒成立．
①若sinx＞0，a≤sinx+$\frac{2}{sinx}$恒成立，令sinx=t，則0＜t≤1，再令g（t）=t+$\frac{2}{t}$（0＜t≤1），則a≤g（t）_min．
由于g′（t）=1-$\frac{2}{{t}^{2}}$＜0，
所以，g（t）=t+$\frac{2}{t}$在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，
因此，g（t）_min=g（1）=3，
所以a≤3；
②若sinx＜0，則a≥sinx+$\frac{2}{sinx}$恒成立，同理可得a≥-3；
③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；
綜合①②③，-3≤a≤3．
故選：D．

點評 本題考查恒成立問題，將不等式$\frac{y}{4}$-cos²x≥asinx-$\frac{9}{y}$恒成立轉(zhuǎn)化為$\frac{y}{4}$+$\frac{9}{y}$≥asinx+1-sin²x恒成立是基礎，令f（y）=$\frac{y}{4}$+$\frac{9}{y}$，求得f（y）_min=3是關(guān)鍵，也是難點，考查等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的綜合運用，屬于難題．