【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上一點(diǎn)滿足，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交橢圓于，求證：存在實(shí)數(shù)，使得.

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，由得到a=2,再把點(diǎn) 的坐標(biāo)代入橢圓方程，解方程組即得橢圓的方程.(2)第(2)問(wèn)，設(shè)的方程為.

設(shè)點(diǎn)，，再求出NG的方程，證明直線過(guò)點(diǎn)，即可證明

存在實(shí)數(shù)，使得.

試題解析：

(1)依題意，，故.

將代入橢圓中，解得，

故橢圓的方程為：.

（2）由題知直線的斜率必存在，設(shè)的方程為.

設(shè)點(diǎn)，，則，

聯(lián)立，得.

即，

則，，

由題可得直線方程為，

又∵，.

∴直線方程為，

令，整理得

，

即直線過(guò)點(diǎn).

又∵橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴三點(diǎn)，，在同一直線上.

∴ 存在實(shí)數(shù)，使得 .

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司招聘員工，先由兩位專家面試，若兩位專家都同意通過(guò)，則視作通過(guò)初審予以錄用；若兩位專家都未同意通過(guò)，則視作未通過(guò)初審不予錄用；當(dāng)這兩位專家意見(jiàn)不一致時(shí)，再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過(guò)復(fù)審則予以錄用，否則不予錄用.設(shè)應(yīng)聘人員獲得每位初審專家通過(guò)的概率為0.5，復(fù)審能通過(guò)的概率為0.3，各專家評(píng)審的結(jié)果相互獨(dú)立.

（Ⅰ）求某應(yīng)聘人員被錄用的概率；

（Ⅱ）若4人應(yīng)聘，設(shè)X為被錄用的人數(shù)，試求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)且.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）令在上的最小值為，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）若的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求在區(qū)間[-2，4]上的最大值；

（2）當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】唐三彩，中國(guó)古代陶瓷燒制工藝的珍品，它吸取了中國(guó)國(guó)畫、雕塑等工藝美術(shù)的特點(diǎn)，在中國(guó)文化中占有重要的歷史地位，在中國(guó)的陶瓷史上留下了濃墨重彩的一筆.唐三彩的生產(chǎn)至今已有1300多年的歷史，對(duì)唐三彩的復(fù)制和仿制工藝，至今也有百余年的歷史，某陶瓷廠在生產(chǎn)過(guò)程中，對(duì)仿制100件工藝品測(cè)得其重量(單位：) 數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分組如下表：

（1）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值（例如區(qū)間的中點(diǎn)值是2.25）作為代表.據(jù)此，估計(jì)這100個(gè)數(shù)據(jù)的平均值；

（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，以頻率作為槪率，若該陶瓷廠生產(chǎn)這樣的工藝品5000件，試估計(jì)重量落在中的件數(shù)；

（3）從第一組和第六組6件工藝品中隨機(jī)抽取2個(gè)工藝品，求一個(gè)來(lái)自第一組，一個(gè)來(lái)自第六組的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某地區(qū)某農(nóng)產(chǎn)品近幾年的產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)如表：

年份

2013

2014

2015

2016

2017

2018

年份代碼

1

2

3

4

5

6

年產(chǎn)量（萬(wàn)噸）

6.6

6.7

7

7.1

7.2

7.4

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的線性回歸方程；

,

（2）若近幾年該農(nóng)產(chǎn)品每千克的價(jià)格（單位：元）與年產(chǎn)量滿足的函數(shù)關(guān)系式為，且每年該農(nóng)產(chǎn)品都能售完.

①根據(jù)（1）中所建立的回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2019（）年該農(nóng)產(chǎn)品的產(chǎn)量；

②當(dāng)為何值時(shí)，銷售額最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，點(diǎn),分別是橢圓的左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、（、都在軸上方）．且．證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】中小學(xué)生的視力狀況受到社會(huì)的廣泛關(guān)注，某市有關(guān)部門從全市6萬(wàn)名高一學(xué)生中隨機(jī)抽取了400名，對(duì)他們的視力狀況進(jìn)行一次調(diào)查統(tǒng)計(jì)，將所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，如圖所示.從左至右五個(gè)小組的頻率之比依次是.

（1）抽取的400名學(xué)生中視力在范圍內(nèi)的學(xué)生約有多少人？

（2）如果視力達(dá)到5.0以上算正常，用樣本估計(jì)總體，求全市高一學(xué)生中視力正常的學(xué)生有多少人？

（3）從第4組和第5組的學(xué)生中按分層抽樣的方式抽取樣本容量為8人的樣本，再?gòu)臉颖局须S機(jī)抽取2人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，請(qǐng)求出2人來(lái)自同一組的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某地區(qū)高考實(shí)行新方案，規(guī)定：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和英語(yǔ)是考生的必考科目，考生還須從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個(gè)科目中選出了三個(gè)科目作為選考科目．若一名學(xué)生從六個(gè)科目中選出了三個(gè)科目作為選考科目，則稱該學(xué)生的選考方案確定；否則，稱該學(xué)生選考方案待確定．例如，學(xué)生甲選擇“物理、化學(xué)和生物”三個(gè)選考科目，則學(xué)生甲的選考方案確定，“物理、化學(xué)和生物”為其選考方案．

某學(xué)校為了了解高一年級(jí)420名學(xué)生選考科目的意向，隨機(jī)選取30名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查，統(tǒng)計(jì)選考科目人數(shù)如下表：

（Ⅰ）試估計(jì)該學(xué)校高一年級(jí)確定選考生物的學(xué)生有多少人？

（Ⅱ）寫出選考方案確定的男生中選擇“物理、化學(xué)和地理”的人數(shù)．（直接寫出結(jié)果）

（Ⅲ）從選考方案確定的男生中任選2名，試求出這2名學(xué)生選考科目完全相同的概率．

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