Question

若函數(shù)f（x）滿足條件：當(dāng)x₁，x₂∈[-1，1]時，有|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，則稱f（x）∈Ω．對于函數(shù)g（x）=x³，h（x）=

1

x+2

，有（　　）

• A、g（x）∈Ω且h（x）∉Ω
• B、g（x）∉Ω且h（x）∈Ω
• C、g（x）∈Ω且h（x）∈Ω
• D、g（x）∉Ω且h（x）∉Ω

Answer 1

分析：先對f（x）討論，利用立方差公式將|f（x₁）-f（x₂）|分解因式為|x₁-x₂|•|x₁²+x₁x₂+x₂²|，再根據(jù)自變量在閉區(qū)間[-1，1]上取值，可得|x₁²+x₁x₂+x₂²|≤x₁²+|x₁x₂|+x₂²≤3，因而|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，得f（x）∈Ω；
再對g（x）討論，將差通分可得|g（x₁）-g（x₂）|=|

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

|，根據(jù)自變量在閉區(qū)間[-1，1]上取值再結(jié)合倒數(shù)的方法證出

1

3

≤|

1

x1+2

|≤1且

1

3

≤|

1

x2+2

|≤1，可得故|

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

|≤|x₁-x₂|，因而|g（x₁）-g（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，可得g（x）∈Ω

解答：解：根據(jù)題意得：
（1）|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁³-x₂³|=|x₁-x₂|•|x₁²+x₁x₂+x₂²|
因為x₁，x₂∈[-1，1]，所以|x₁²+x₁x₂+x₂²|≤x₁²+|x₁x₂|+x₂²≤3
所以有|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，可得f（x）∈Ω
（2）|g（x₁）-g（x₂）|=|

1

x1+2

-

1

x1+2

|=|

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

|
因為x₁，x₂∈[-1，1]，所以|

1

x1+2

| ∈[

1

3

，1]，|

1

x2+2

| ∈[

1

3

，1]
故|

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

|≤|x₁-x₂|≤3|x₁-x₂|
所以有|g（x₁）-g（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，可得g（x）∈Ω
綜合（1）（2）可得，g（x）∈Ω且h（x）∈Ω
故選C

點評：本題考查了函數(shù)恒成立的問題，屬于中檔題．做題時應(yīng)該注意運用函數(shù)的簡單性質(zhì)與不等式證明相結(jié)合技巧的應(yīng)用．