函數(shù)y＝2x3-3x2


  1. A.
    在x＝0處取得極大值0，但無極小值
  2. B.
    在x＝1處取得極小值-1，但無極大值
  3. C.
    在x＝0處取得極大值0，在x＝1處取得極小值-1
  4. D.
    以上都不對
練習冊系列答案
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下列給出的函數(shù)中，是冪函數(shù)的是

[　　]

A．y＝3x

B．y＝2x3

C．y＝x－3

D．y＝x3－1

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求下列函數(shù)的導數(shù)(先設中間變量，再求導)．

(1)y＝(5x－3)4

(2)y＝(2＋3x)5

(3)y＝(2－x2)3

(4)y＝(2x3＋x)2

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求下列多項式函數(shù)的導函數(shù)．

(1)y＝2x3－3x2＋5x－4；

(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)．

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已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問，利用函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

(2)中設切點為(x0，x03－3x0)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數(shù)∴m＝－2x03＋6x02－6

然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數(shù)求導數(shù)，判定單調性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

(2)設切點為(x0，x03－3x0)，

∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

又切線過點A(2，m)

∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

∴m＝－2x03＋6x02－6

令g(x)＝－2x3＋6x2－6

則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調遞減，(0,2)單調遞增，(2，＋∞)單調遞減．

∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

 

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