Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中點，F(xiàn)是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)的動點，且A₁F∥平面D₁AE，則A₁F與平面BCC₁B₁所成角的正切值的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：設(shè)平面AD₁E與直線BC交于點G，連接AG、EG，則G為BC的中點．分別取B₁B、B₁C₁的中點M、N，連接AM、MN、AN，可證出平面A₁MN∥平面D₁AE，從而得到A₁F是平面A₁MN內(nèi)的直線．由此將點F在線段MN上運動并加以觀察，即可得到A₁F與平面BCC₁B₁所成角取最大值、最小值的位置，由此不難得到A₁F與平面BCC₁B₁所成角的正切取值范圍．

解答： 解：解答：解：設(shè)平面AD₁E與直線BC交于點G，連接AG、EG，則G為BC的中點
分別取B₁B、B₁C₁的中點M、N，連接AM、MN、AN，則
∵A₁M∥D₁E，A₁M?平面D₁AE，D₁E?平面D₁AE，
∴A₁M∥平面D₁AE．同理可得MN∥平面D₁AE，
∵A₁M、MN是平面A₁MN內(nèi)的相交直線
∴平面A₁MN∥平面D₁AE，
由此結(jié)合A₁F∥平面D₁AE，
可得直線A₁F?平面A₁MN，即點F是線段MN上上的動點．
設(shè)直線A₁F與平面BCC₁B₁所成角為θ
運動點F并加以觀察，可得
當F與M（或N）重合時，A₁F與平面BCC₁B₁所成角等于∠A₁MB₁，
此時所成角θ達到最小值，滿足tanθ=

A1B1

B1M

=2；
當F與MN中點重合時，A₁F與平面BCC₁B₁所成角達到最大值，
滿足tanθ=

A1B1

2 2 B1M

=2

2

，
∴A₁F與平面BCC₁B₁所成角的正切取值范圍為[2，2

2

]
故答案為：[2，2

2

]．

點評：本題給出正方體中側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)動點F滿足A₁F∥平面D₁AE，求A₁F與平面BCC₁B₁所成角的正切取值范圍，著重考查了正方體的性質(zhì)、直線與平面所成角、空間面面平行與線面平行的位置關(guān)系判定等知識．