Question

在(3x

1

3

+x

1

2

)n的二項展開式中各項系數之和為t，其二項式系數之和為h，若h+t=272，則其二項展開式中x²項的系數為

1

．

Answer 1

分析：給二項式中的x賦值1求出展開式的各項系數的和t；利用二項式系數和公式求出h，代入已知的等式，解方程求出n的值，得到表達式，求出二項式中x²項的系數即可．

解答：解：令二項式中的x為1得到各項系數之和t=4ⁿ
又各項二項式系數之和h=2ⁿ
∵t+h=272，
∴4ⁿ+2ⁿ=272，
解得n=4，
所以(3x

1

3

+x

1

2

)n=(3x

1

3

+x

1

2

)4，
它的展開式的通項為

C

K 4

34-Kx

4-k

3

+

k

2

，
二項展開式中x²項時k=4，
二項展開式中x²項的系數為：1；
故答案為：1．

點評：本題考查解決展開式的各項系數和問題常用的方法是賦值法、考查二項式系數的性質：二項式系數和為2ⁿ．