Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n+2a_n=3（n∈N^*），設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b_n=$\frac{2_{n-1}}{_{n-1}+2}$（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）S_n+2a_n=3（n∈N^*），以及S_n-1+2a_n-1=3（n∈N^*），兩式相減得到數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系式，求通項(xiàng)公式；由已知b_n=$\frac{2_{n-1}}{_{n-1}+2}$（n≥2）變形得到數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}是等差數(shù)列，從而求得通項(xiàng)公式；
（2）首先得到數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n滿足S_n+2a_n=3（n∈N^*），
所以S_n-1+2a_n-1=3（n∈N^*），
兩式相減得到$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2}{3}$，且a₁=1，
所以數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)$\frac{2}{3}$為公比的等比數(shù)列，
以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
又b_n=$\frac{2_{n-1}}{_{n-1}+2}$（n≥2）．整理得$\frac{1}{_{n}}-\frac{1}{_{n-1}}=\frac{1}{2}$，
所以數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}是以1為首項(xiàng)$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，所以$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{2}$n$+\frac{1}{2}$．所以b_n=$\frac{2}{n+1}$，
（2）設(shè)${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{1}{2}•（\frac{2}{3}）^{n-1}•（n+1）$，
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}$（1×2$+\frac{2}{3}×3$$+（\frac{2}{3}）^{2}×4$+…+$（\frac{2}{3}）^{n-1}（n+1）$）①
$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{3}×2+（\frac{2}{3}）^{2}×3+（\frac{2}{3}）^{3}×4$+…+$（\frac{2}{3}）^{n-1}n+（\frac{2}{3}）^{n}（n+1）$）②
②-①得$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}+$…+$（\frac{2}{3}）^{n-1}$-$（\frac{2}{3}）^{n}（n+1）$）=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{2}{3}）^{n-1}]}{1-\frac{2}{3}}$-$（\frac{2}{3}）^{n}（n+1）$），
所以T_n=6-$（\frac{2}{3}）^{n}\frac{3（n+4）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法以及利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n 項(xiàng)和；屬于常規(guī)題；注意掌握方法．