Question

一個正三棱柱有一個內(nèi)切球（球與三棱柱的兩個底面和三個側(cè)面都相切）和一個外接球（球經(jīng)過三棱柱的六個頂點(diǎn)），則此內(nèi)切球、外接球與正三棱柱三個幾何體的表面積之比為1：

 

：

 

．

Answer 1

分析：設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長為a，當(dāng)球外切于正三棱柱時，球的半徑R₁等于正三棱柱的底面正三角形的邊心距，求出正三棱柱的高為，當(dāng)球外接正三棱柱時，球的球心是正三棱柱中心高線的中點(diǎn)，且球的球心與正三棱柱兩個底面正三角形構(gòu)成兩個正三棱錐，求出外接球的半徑，即可求出內(nèi)切球、外接球與正三棱柱三個幾何體的表面積之比．

解答：解：設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長為a，其內(nèi)切球的半徑為R
當(dāng)球外切于正三棱柱時，球的半徑R等于正三棱柱的底面正三角形的重心到對邊的距離即R=

3

3

a，到相對棱的距離是

2 3

3

a
又正三棱柱的高是其內(nèi)切球半徑的2倍，故正三棱柱的高為

2 3

3

a，
 球外接正三棱柱時，球的球心是正三棱柱高的中點(diǎn)，且球的球心與正三棱柱兩個底面正三角形構(gòu)成兩個正三棱錐，頂點(diǎn)在底面上的投影恰好是底面三角形的重心到頂點(diǎn)的距離

2 3

3

a，棱錐的高為

3

3

a
故正三棱錐外接球的半徑滿足 R22=(

2 3

3

a)2+(

3

3

a)2=

5

3

a2，
三棱柱的表面積為：2×

3

4

a2+3a× 

2 3

3

a=

5 3

2

a2
∴內(nèi)切球、外接球與正三棱柱三個幾何體的表面積之比4（π

1

3

a2）：（4π

5

3

a2）：

5 3

2

a2=R²：R₂²=1：5：

9 3

2π

．

故答案為：5；

9 3

2π

．

點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，考查空間想象能力，分析問題解決問題的能力，是常考題型，求內(nèi)切球與外接球的半徑是本題的關(guān)鍵．