Question

設a，b，c是三角形的三邊長，直線l：ax+by+c=0，M（-1，-1），N（-1，1），P（1，1），1（1，-1）．
（1）判斷點M，N，P，Q是否均在直線的同一側(cè)，請說明理由；
（2）設M，N，P，Q到直線的距離和為S，求證：2

2

＜S＜4

2

．

Answer 1

考點：點到直線的距離公式

專題：直線與圓

分析：（1）令f（x，y）=ax+by+c，則f（-1，-1）=c-（a+b），f（-1，1）=（b+c）-a，f（1，1）=a+b+c，f（1，-1）=（a+c）-b，利用三角形的三邊大小關(guān)系即可判斷出．．
（2）M，N，P，Q到直線的距離和為S=

|c-(a+b)|

a2+b2

+

|(b+c)-a|

a2+b2

+

|a+b+c|

a2+b2

+

|(a+c)-b|

a2+b2

=

2(a+b+c)

a2+b2

，不妨設a≥b，a-b≤c≤a+b利用基本不等式的性質(zhì)即可證明．

解答： （1）解：令f（x，y）=ax+by+c，
則f（-1，-1）=c-（a+b），
f（-1，1）=（b+c）-a，
f（1，1）=a+b+c，
f（1，-1）=（a+c）-b＞0．
由三角形的性質(zhì)可知：f（-1，-1）＜0，f（-1，1）＞0，f（1，1）＞0，f（1，-1）＞0，
∴點N，P，Q在直線l的同側(cè)，而點M在直線l的另一側(cè)．

（2）證明：M，N，P，Q到直線的距離和為
S=

|c-(a+b)|

a2+b2

+

|(b+c)-a|

a2+b2

+

|a+b+c|

a2+b2

+

|(a+c)-b|

a2+b2

=

2(a+b+c)

a2+b2

，
不妨設a≥b，a-b≤c≤a+b．
∴

a+b+c

a2+b2

＞

a+b+(a-b)

a2+b2

=

2a

a2+b2

≥

2a

2a2

=

2

．

a+b+c

a2+b2

＜

a+b+a+b

a2+b2

=

2(a+b)

a2+b2

≤2

2

．
∴2

2

＜S＜4

2

．

點評：本題考查了三角形的三邊大小關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．