Question

某國從1790年至1950年的部分人口數(shù)據(jù)資料如下表：

試利用上述資料預(yù)測2010年該國的人口數(shù)．

Answer 1

答案：
解析：

分析：用x軸表示年份，y軸表示人口數(shù)，建立平面直角坐標系，作出散點圖．觀察散點圖，發(fā)現(xiàn)1890年以后各點分布在一條直線附近，而從散點圖的整體趨勢看，各點的連線可以看作是拋物線的一部分或指數(shù)型函數(shù)圖象的一部分．因此，可以采用一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)這三種函數(shù)模型來近似刻畫人口數(shù)y與年份x的函數(shù)關(guān)系． 　　解：(1)一次函數(shù)模型：從散點圖可以看出，1890年以后各點分布在一條直線附近． 　　設(shè)函數(shù)模型為y＝kx＋b，將點(1900，75.995)，(1920，105.711)代入，解得k＝1.4858，b＝－2747.025，所以y＝1.4858x－2747.025． 　　所以，當(dāng)x＝2010時，y＝239.433． 　　故預(yù)測2010年該國人口約為239.433百萬． 　　(2)二次函數(shù)模型：從散點圖的整體趨勢看，各點近似分布在一條以直線x＝1790為對稱軸的拋物線上． 　　設(shè)函數(shù)模型為y＝a(x－1790)2＋h，則以點(1790，3.929)為頂點，再任意選一點(1890，62.948)，可確定模型為y＝0.0059(x－1790)2＋3.929． 　　所以，當(dāng)x＝2010時，y＝289.489． 　　故預(yù)測2010年該國人口約為289.489百萬． 　　(3)指數(shù)型函數(shù)模型：從散點圖的整體趨勢看，還可考慮用指數(shù)型函數(shù)模型進行數(shù)據(jù)擬合． 　　設(shè)函數(shù)模型為y＝abx－c，將點(1930，122.775)，(1940，131.669)，(1950，150.697)代入y＝abx－c，利用計算器算得a≈131.669，b≈1.0136，c≈1940，所以y＝131.669×1.0136x－1940． 　　所以，當(dāng)x＝2010時，y＝338.958． 　　故預(yù)測2010年該國人口約為338.958百萬． 　　點評：本題沒有給出函數(shù)模型，需要根據(jù)題中的數(shù)據(jù)作出散點圖，與已學(xué)過的函數(shù)圖象對照、比較，并猜測函數(shù)模型．在解此類問題的過程中，首先需要在實際情境中理解、分析所給的一系列數(shù)據(jù)，舍去與解題無關(guān)的因素，再把抽象問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型．