Question

已知

a

=（sinα，1），

b

=（cosα，2），α∈（0，

π

2

）
（Ⅰ）若

a

∥

b

，求tanα的值；
（Ⅱ）在（ I）的條件下，若cos（α+β）=

5

13

，β∈（0，

π

2

），求sinβ的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量共線（平行）的坐標表示

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由

a

∥

b

，得2sinα-cosα=0，又α∈（0，

π

2

），可得cosα≠0從而可求tanα的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinα=

5

5

，cosα=

2 5

5

，可求sin（α+β）的值，從而可求sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=

19 5

65

．

解答： 解：（Ⅰ）若

a

∥

b

，得2sinα-cosα=0，又α∈（0，

π

2

），故cosα≠0
∴tanα=

1

2

（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinα=

5

5

，cosα=

2 5

5

由α∈（0，

π

2

），β∈（0，

π

2

），得α+β∈（0，π），又cos（α+β）=

5

13

，
∴sin（α+β）=

1-cos2(α+β)

=

12

13

∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=

19 5

65

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，平面向量共線（平行）的坐標表示，屬于基本知識的考查．