已知橢圓C：的左頂點(diǎn)為A，M、N是C上異于A的兩點(diǎn)，且。
（1）直線MN是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求△AMN面積S的最大值。
解：（1）當(dāng)直線MN的方程是y=h（h是常數(shù)）時(shí)，由點(diǎn)A是橢圓C的左頂點(diǎn)，知∠AMN＜90°，
而AM⊥AN，
所以可設(shè)MN：x=my+t（t≠-2），把它代入C的方程，得

又設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），得


由AM⊥AN，得

所以
MN：
得直線MN過定點(diǎn)。
（2）由
得

其中
下面求z的最小值
設(shè)得

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，z是增函數(shù)，
所以當(dāng)且僅當(dāng)即m=0時(shí)，z取到最小值，
且最小值是，即當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)S取到最大值，且最大值是。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年福建省高三下學(xué)期第二次聯(lián)考文數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)為A，△AF1F2為正三角形，且以線段F1F2為直徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓C的方程和離心率e；

（Ⅱ）若點(diǎn)P為焦點(diǎn)F1關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足. 問是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)T的距離為定值？若存在，求出定點(diǎn)T的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆福建省高二上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分12分）

已知橢圓C：的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓方程；

（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，求的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年黑龍江省高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)文卷 題型：解答題

 

（本小題滿分12分）已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,，離心率。

（Ⅰ）求橢圓C的方程：

（Ⅱ）設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)分別為,，若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明直線與直線的交點(diǎn)在直線上。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年江蘇省天一中學(xué)、海門中學(xué)、鹽城中學(xué)聯(lián)考高三（下）2月調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，下頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P是橢圓上任一點(diǎn)，⊙M是以PF2為直徑的圓．
（Ⅰ）當(dāng)⊙M的面積為時(shí)，求PA所在直線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)⊙M與直線AF1相切時(shí)，求⊙M的方程；
（Ⅲ）求證：⊙M總與某個(gè)定圓相切．

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